有限数学示例

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

有理函数是指可以写成两个多项式函数比值的任何函数，其中分母不为 $0$ 。

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 是一个有理函数

解题步骤 2

当分子的幂低于分母的幂时，有理函数为本征函数，否则为异常函数。

分子次数大于分母次数，表明该函数为真函数。

分子次数大于分母次数，表明该函数为假函数。

分子次数等于分母次数，表明该函数为假函数。

解题步骤 3

求分子的次数。

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解题步骤 3.1

化简并重新排序多项式。

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解题步骤 3.1.1

使用二项式定理。

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.1

移动 $3^{2}$ 。

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $3^{2}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.9

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.10

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

解题步骤 3.2

最大的指数是多项式的次数。

$3$

解题步骤 4

求分母的次数。

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解题步骤 4.1

化简并重新排序多项式。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

解题步骤 4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

解题步骤 4.1.3.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

解题步骤 4.2

最大的指数是多项式的次数。

$4$

解题步骤 5

分子 $3$ 的次数小于分母 $4$ 的次数。

$3 < 4$

解题步骤 6

分子的次数小于分母的次数，表示 $f (x)$ 是一个真函数。

真的

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